5 תשובות
במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המתמטיקה, וגם מחוץ לה. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה. לקחתי מוויקפדיה
שואל השאלה:
^וואי תודה איזה השקעה! אם הייתי יכולה הייתי נותנת לך מיליון פרחים
^וואי תודה איזה השקעה! אם הייתי יכולה הייתי נותנת לך מיליון פרחים
רק תגידי שעכשיו את מבינה קצת יותר, זה יספיק. בתנאי שזו האמת, כמובן.
שואל השאלה:
אני מבינה כמעט לגמרי ואם אני אקרא את זה כשאני מרוכזת יותר אני עוד יותר אבין
אני מבינה כמעט לגמרי ואם אני אקרא את זה כשאני מרוכזת יותר אני עוד יותר אבין
זה מאתגר, אבל אני אנסה. ארוך, אין ברירה, כי אני מנסה ללכת לאט לאט.
פונקציה זו מכונה. תחשבי על מכונת קפה. מצד אחד את מכניסה גרגרי-קפה סוכר מים חלב, מצד שני יוצא קפה. הקפה שיוצא תלוי במה שהכנסת. תכניסי יותר חלב יצא קפה אחר. לחומרים שהכנסת נקרא "משתנים", נעזוב עכשיו למה השם. למשקה שיצא נקרא "תוצאה".
זו דוגמה מסובכת כי יש 4 משתנים. ננסה לחשוב על משהו יותר פשוט כמו טוסטר. ונתעלם כרגע מהזמן רק הלחם הוא משתנה. מצד אחד את מכניסה לחם מצד שני יוצא טוסט. תכניסי לחם מסוג אחר או עובי אחר יצא טוסט אחר. הלחם הוא המשתנה, הטוסט היא התוצאה.
פונקציה בצורה שלומדים בתיכון זו מכונה שמקבלת מספר ("המשתנה", אוהבים לסמן אותו בתור x אבל לא חובה), ומוציאה מספר ("התוצאה", אוהבים לסמן אותה בתור y אבל לא חובה).
כמו שיש הרבה טוסטרים - אם אני אקח טוסטר אחר ואכניס את אותה פרוסת לחם יצא טוסט אחר - ככה יש הרבה פונקציות. כל פונקציה היא מכונה שכשמכניסים לה מספר מקבלים מספר (בדרך כלל שונה) בצד השני.
אם יש לי 2 פונקציות, נסמן אותן f ו-g, ואני מכניס לשתיהן את אותו מספר, ומקבל בשתיהן אותה תוצאה, וזה קורה תמיד - לא משנה מה המספר שהכנסתי, אז אני אומר שזאת בעצם אותה פונקציה. כלומר f ו- g זהות. למשל f היא המכונה שאומרת "קחי את המספר שקיבלת ותכפילי אותו פי 3". בקיצור אנחנו רושמים f(x)=x*3. ו-g היא המכונה שאומרת "קחי את המספר 3 ותכפילי אותו פי המספר שקיבלת". בקיצור אנחנו רושמים g(x)=3*x. בגלל חוקי החשבון אני יודע שלא משנה מה ה-x, תמיד נקבל אותה תוצאה בשתי הפונקציות, כלומר f(x)=g(x) לכל x. הכנסתי 2 קיבלת 6 בשניהם, הכנסתי 4.1- קיבלתי 12.3- בשניהם. אבל אם יש אפילו רק מספר אחד a שעבורו f(a) שונה מ- g(a), אז אלו כבר 2 פונקציות שונות. כי הכנסתי לתוך 2 המכונות את אותו דבר ויצאו לי דברים שונים ==> מסקנה המכונות הללו לא זהות.
לכל מכונה יש את החומרים שאפשר להכניס לתוכה. תנסי לשפוך חלב במקום לחם לטוסטר, לא תקבלי טוסט מסוג חדש, אולי תקבלי שריפה במטבח. גם בפונקציות מתימטיות יש מספרים שאפשר להכניס לפונקציה ויש כאלו שלא. הפונקציה !f(n)=n למשל יכולה לקבל רק מספרים טבעיים במשתנה שלה. אין משמעות ל- f(-1.1). לעומת זאת לפונקציה g(x)=x^2 אפשר להכניס כל מספר ממשי, יש משמעות ל- g(-1.1) - התוצאה היא 1.21. אוסף כל המספרים שאותם ניתן להכניס לפונקציה ולקבל תוצאה, נקרא תחום ההגדרה של הפונקציה.
פונקציה זו מכונה. תחשבי על מכונת קפה. מצד אחד את מכניסה גרגרי-קפה סוכר מים חלב, מצד שני יוצא קפה. הקפה שיוצא תלוי במה שהכנסת. תכניסי יותר חלב יצא קפה אחר. לחומרים שהכנסת נקרא "משתנים", נעזוב עכשיו למה השם. למשקה שיצא נקרא "תוצאה".
זו דוגמה מסובכת כי יש 4 משתנים. ננסה לחשוב על משהו יותר פשוט כמו טוסטר. ונתעלם כרגע מהזמן רק הלחם הוא משתנה. מצד אחד את מכניסה לחם מצד שני יוצא טוסט. תכניסי לחם מסוג אחר או עובי אחר יצא טוסט אחר. הלחם הוא המשתנה, הטוסט היא התוצאה.
פונקציה בצורה שלומדים בתיכון זו מכונה שמקבלת מספר ("המשתנה", אוהבים לסמן אותו בתור x אבל לא חובה), ומוציאה מספר ("התוצאה", אוהבים לסמן אותה בתור y אבל לא חובה).
כמו שיש הרבה טוסטרים - אם אני אקח טוסטר אחר ואכניס את אותה פרוסת לחם יצא טוסט אחר - ככה יש הרבה פונקציות. כל פונקציה היא מכונה שכשמכניסים לה מספר מקבלים מספר (בדרך כלל שונה) בצד השני.
אם יש לי 2 פונקציות, נסמן אותן f ו-g, ואני מכניס לשתיהן את אותו מספר, ומקבל בשתיהן אותה תוצאה, וזה קורה תמיד - לא משנה מה המספר שהכנסתי, אז אני אומר שזאת בעצם אותה פונקציה. כלומר f ו- g זהות. למשל f היא המכונה שאומרת "קחי את המספר שקיבלת ותכפילי אותו פי 3". בקיצור אנחנו רושמים f(x)=x*3. ו-g היא המכונה שאומרת "קחי את המספר 3 ותכפילי אותו פי המספר שקיבלת". בקיצור אנחנו רושמים g(x)=3*x. בגלל חוקי החשבון אני יודע שלא משנה מה ה-x, תמיד נקבל אותה תוצאה בשתי הפונקציות, כלומר f(x)=g(x) לכל x. הכנסתי 2 קיבלת 6 בשניהם, הכנסתי 4.1- קיבלתי 12.3- בשניהם. אבל אם יש אפילו רק מספר אחד a שעבורו f(a) שונה מ- g(a), אז אלו כבר 2 פונקציות שונות. כי הכנסתי לתוך 2 המכונות את אותו דבר ויצאו לי דברים שונים ==> מסקנה המכונות הללו לא זהות.
לכל מכונה יש את החומרים שאפשר להכניס לתוכה. תנסי לשפוך חלב במקום לחם לטוסטר, לא תקבלי טוסט מסוג חדש, אולי תקבלי שריפה במטבח. גם בפונקציות מתימטיות יש מספרים שאפשר להכניס לפונקציה ויש כאלו שלא. הפונקציה !f(n)=n למשל יכולה לקבל רק מספרים טבעיים במשתנה שלה. אין משמעות ל- f(-1.1). לעומת זאת לפונקציה g(x)=x^2 אפשר להכניס כל מספר ממשי, יש משמעות ל- g(-1.1) - התוצאה היא 1.21. אוסף כל המספרים שאותם ניתן להכניס לפונקציה ולקבל תוצאה, נקרא תחום ההגדרה של הפונקציה.
באותו הנושא: