3 תשובות
תשלחי שאלה אני אסביר
שואל השאלה:
^אני רוצה הסבר בכללי איך פותרים
^אני רוצה הסבר בכללי איך פותרים
אנונימית
***הסבר מלא ויסודי של מכנה משותף***
******** זהירות - חפירה ********
המטרה בשברים היא להגיע למצב בו המכנים
שווים בכל השברים. למה?
כי אז אפשר לכפול את המשוואה בביטוי שמופיע במכנה.. וכך להעלים אותו..
אסור לשכוח שכשיש לנו משוואה, כל פעולה שנפעיל על שני אגפי המשוואה, לא תשנה את המשוואה.
לדוגמה..
12x=24
אנו רואים שהתשובה היא x=2
ואם נכפיל את המשוואה ב3..
נקבל 36x=72.
עדיין התשובה היא x=2.
כנל אם נחליט להוסיף למשוואה מספרים.
לכן... כשיש משוואה עם שברים, הכי חשוב זה להעיף מכנים, וכמו שangel אמרה..
מוצאים מכנה משותף הקטן ביותר.
איך עושים זאת?
על ידי היכרות עם מכפלות מוכרות.. ולוח הכפל בעל פה...
או על ידי פירוק לגורמים ראשוניים.
אז קצת רקע מתמטי,
קודם נתאר מהם מספרים פריקים:
אלו מספרים שניתן לחלק אותם במספר שלם, שהוא לא המספר עצמו, ולא 1. והתוצאה תהיה מספר שלם גם היא.
עד שמגיעים למספר ראשוני שהוא המרכיב היסודי של כל מספר פריק.
לא משנה באיזה כפולות נבחר, תמיד נגיע לאותם מספרים ראשוניים.
אז מהם גורמים/מספרים ראשוניים?
למשל, 12 הוא מספר פריק שניתן לפרק למכפלה של 3 ו-4.
נמשיך לנסות לפרק, ונגלה ש3 הוא מספר ראשוני (כלומר מתחלק אך ורק בעצמו וב-1).
את 4 אפשר להמשיך לפרק.. ולכן 12 מורכב מהמכפלה: 3*2*2.
כלומר:
- כל המספרים הפריקים בעולם מורכבים ממכפלות של מספרים ראשוניים.
- כל מספר ראשוני אינו פריק.
- כל המספרים הראשוניים בעולם הם אי זוגיים, חוץ מהמספר 2, שהוא המספר הראשוני הזוגי היחיד והראשון ברשימה האינסופית.
מספרים ראשוניים:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 וכן הלאה..
נשים, לב שכל המספרים בין לבין.. הם מספרים פריקים.. והרשימה עצומה.
אז....
איך זה עוזר לנו..
נקח תרגיל שבו יש לנו את המכנים הבאים:
5, 12, 4, 13, 26, 25.
בכוונה הבאתי משהו קשה..
ונפתור בלי מחשבון.
נפרק את 5 ונקבל 5. כי הוא ראשוני כבר.
נפרק את 12, ונקבל 3*2*2.
נפרק את 4, ונקבל 2*2.
נפרק את 13, ונקבל 13. כי הוא ראשוני כבר.
נפרק את 26, ונקבל 13*2.
נפרק את 25, ונקבל 5*5.
עכשיו נקח את כל המכפלות שמופיעות הכי הרבה:
את 2 נקח פעמיים. למה? כי הוא מופיע הכי הרבה פעמיים, או ב12 או ב4.
את 3 נקח פעם אחת, מתוך ה12.
את 5 נקח פעמיים כי הוא מופיע ב25 הכי הרבה.
את 13 נקח פעם אחת בגלל ה26 או ה13.
עכשיו נכפיל הכל יחד ונמצא את המכנה המשותף הקטן ביותר:
13*5*5*3*2*2 ונקבל ש3900 הוא המכנה המשותף הקטן ביותר.
שימו לב שאילו היינו כופלים את כל המכנים מראש.. בתחילת התרגיל.. לא היינו טועים, אבל היינו מקבלים מספר הרבה יותר גדול!
5*4*12*13*25*26 שווה בכלל
ל2,028,000.
אז עכשיו עולה השאלה..
אוקיי, מצאתי את המכנה המשותף הקטן, ביותר, מה עכשיו?
פשוט מאד.. כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף.
כל שבר שהיה בו מכנה... יצטמצם עם המכנה המשותף ויישאר מספר שלם שיכפול את המונה.
כל מספר שלם שיש במשוואה... שאין לו שבר.. נכפול ב3900.
למשל:
אם היה התרגיל
(3x/5)
(7/4) +
(5x/12) -
(6/13)
(2/25) -
(5/26)
כל זה שווה ל5+2x.
אז כופלים ב3900 את כל המשוואה.
בצד שמאל נקבל:
את 3x/5 נכפיל במכנה המשותף חלקי 5. שזה 3900/5=780.
את 7/4 נכפיל במכנה המשותף חלקי 4. שזה 3900/4=975.
את 5x/12- נכפיל ב3900 חלקי 12, שזה 325.
את 6/13 נכפיל ב3900 חלקי 13, שזה 300.
את 2/25- נכפיל ב3900 חלקי 25, שזה 156.
את 5/26 נכפיל ב3900 חלקי 26, שזה 150.
בצד ימין יש לנו ביטויים בלי מכנה, ולכן נכפיל את 5 ב3900, ואת 2x ב3900.
לכן...
כל המכנים מהשברים שהיו בצד שמאל יעופו כשהם יצטמצמו עם המכנה המשותף.
ונקבל:
780*3x
ועוד 7*975
פחות 325*5x
ועוד 6*300
פחות 2*156
ועוד 5*150
כל זה שווה ל3900*2x
ועוד 5*3900.
לבסוף נגיע למשוואה בלי מכנים, אחרי פעולות הכפל... נרכז איקסים בצד אחד, נרכז מספרים חופשיים בצד שני...
ונחלק במקדם של איקס.
וזהו.
2340x
ועוד 6825
פחות 1625x
ועוד 1800
פחות 312
ועוד 750
כל זה שווה ל....
7800x+19500
נרכז את כל האיקסים בצד ימין אז נעביר את
2340x ועוד 1625x שזה 3965x לצד ימין וזה יחליף סימן למינוס.
לכן 7800x-3965x=3835x.
לצד שמאל נעביר את ה19,500. זה ישנה סימן למינוס.. ונחבר אותו עם שאר המספרים בצד שמאל.
6825+1800-312+750-19500
שזה שווה ל10437-
כמעט סיימנו.
קיבלנו את המשוואה:
10437-=3835x
נחלק את כל המשוואה ב3835 וסיימנו.
בצד שמאל נקבל x, ובצד ימין נקבל
(10437/3835)-
שזה בערך 0.367-.
x=-0.367
******** זהירות - חפירה ********
המטרה בשברים היא להגיע למצב בו המכנים
שווים בכל השברים. למה?
כי אז אפשר לכפול את המשוואה בביטוי שמופיע במכנה.. וכך להעלים אותו..
אסור לשכוח שכשיש לנו משוואה, כל פעולה שנפעיל על שני אגפי המשוואה, לא תשנה את המשוואה.
לדוגמה..
12x=24
אנו רואים שהתשובה היא x=2
ואם נכפיל את המשוואה ב3..
נקבל 36x=72.
עדיין התשובה היא x=2.
כנל אם נחליט להוסיף למשוואה מספרים.
לכן... כשיש משוואה עם שברים, הכי חשוב זה להעיף מכנים, וכמו שangel אמרה..
מוצאים מכנה משותף הקטן ביותר.
איך עושים זאת?
על ידי היכרות עם מכפלות מוכרות.. ולוח הכפל בעל פה...
או על ידי פירוק לגורמים ראשוניים.
אז קצת רקע מתמטי,
קודם נתאר מהם מספרים פריקים:
אלו מספרים שניתן לחלק אותם במספר שלם, שהוא לא המספר עצמו, ולא 1. והתוצאה תהיה מספר שלם גם היא.
עד שמגיעים למספר ראשוני שהוא המרכיב היסודי של כל מספר פריק.
לא משנה באיזה כפולות נבחר, תמיד נגיע לאותם מספרים ראשוניים.
אז מהם גורמים/מספרים ראשוניים?
למשל, 12 הוא מספר פריק שניתן לפרק למכפלה של 3 ו-4.
נמשיך לנסות לפרק, ונגלה ש3 הוא מספר ראשוני (כלומר מתחלק אך ורק בעצמו וב-1).
את 4 אפשר להמשיך לפרק.. ולכן 12 מורכב מהמכפלה: 3*2*2.
כלומר:
- כל המספרים הפריקים בעולם מורכבים ממכפלות של מספרים ראשוניים.
- כל מספר ראשוני אינו פריק.
- כל המספרים הראשוניים בעולם הם אי זוגיים, חוץ מהמספר 2, שהוא המספר הראשוני הזוגי היחיד והראשון ברשימה האינסופית.
מספרים ראשוניים:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 וכן הלאה..
נשים, לב שכל המספרים בין לבין.. הם מספרים פריקים.. והרשימה עצומה.
אז....
איך זה עוזר לנו..
נקח תרגיל שבו יש לנו את המכנים הבאים:
5, 12, 4, 13, 26, 25.
בכוונה הבאתי משהו קשה..
ונפתור בלי מחשבון.
נפרק את 5 ונקבל 5. כי הוא ראשוני כבר.
נפרק את 12, ונקבל 3*2*2.
נפרק את 4, ונקבל 2*2.
נפרק את 13, ונקבל 13. כי הוא ראשוני כבר.
נפרק את 26, ונקבל 13*2.
נפרק את 25, ונקבל 5*5.
עכשיו נקח את כל המכפלות שמופיעות הכי הרבה:
את 2 נקח פעמיים. למה? כי הוא מופיע הכי הרבה פעמיים, או ב12 או ב4.
את 3 נקח פעם אחת, מתוך ה12.
את 5 נקח פעמיים כי הוא מופיע ב25 הכי הרבה.
את 13 נקח פעם אחת בגלל ה26 או ה13.
עכשיו נכפיל הכל יחד ונמצא את המכנה המשותף הקטן ביותר:
13*5*5*3*2*2 ונקבל ש3900 הוא המכנה המשותף הקטן ביותר.
שימו לב שאילו היינו כופלים את כל המכנים מראש.. בתחילת התרגיל.. לא היינו טועים, אבל היינו מקבלים מספר הרבה יותר גדול!
5*4*12*13*25*26 שווה בכלל
ל2,028,000.
אז עכשיו עולה השאלה..
אוקיי, מצאתי את המכנה המשותף הקטן, ביותר, מה עכשיו?
פשוט מאד.. כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף.
כל שבר שהיה בו מכנה... יצטמצם עם המכנה המשותף ויישאר מספר שלם שיכפול את המונה.
כל מספר שלם שיש במשוואה... שאין לו שבר.. נכפול ב3900.
למשל:
אם היה התרגיל
(3x/5)
(7/4) +
(5x/12) -
(6/13)
(2/25) -
(5/26)
כל זה שווה ל5+2x.
אז כופלים ב3900 את כל המשוואה.
בצד שמאל נקבל:
את 3x/5 נכפיל במכנה המשותף חלקי 5. שזה 3900/5=780.
את 7/4 נכפיל במכנה המשותף חלקי 4. שזה 3900/4=975.
את 5x/12- נכפיל ב3900 חלקי 12, שזה 325.
את 6/13 נכפיל ב3900 חלקי 13, שזה 300.
את 2/25- נכפיל ב3900 חלקי 25, שזה 156.
את 5/26 נכפיל ב3900 חלקי 26, שזה 150.
בצד ימין יש לנו ביטויים בלי מכנה, ולכן נכפיל את 5 ב3900, ואת 2x ב3900.
לכן...
כל המכנים מהשברים שהיו בצד שמאל יעופו כשהם יצטמצמו עם המכנה המשותף.
ונקבל:
780*3x
ועוד 7*975
פחות 325*5x
ועוד 6*300
פחות 2*156
ועוד 5*150
כל זה שווה ל3900*2x
ועוד 5*3900.
לבסוף נגיע למשוואה בלי מכנים, אחרי פעולות הכפל... נרכז איקסים בצד אחד, נרכז מספרים חופשיים בצד שני...
ונחלק במקדם של איקס.
וזהו.
2340x
ועוד 6825
פחות 1625x
ועוד 1800
פחות 312
ועוד 750
כל זה שווה ל....
7800x+19500
נרכז את כל האיקסים בצד ימין אז נעביר את
2340x ועוד 1625x שזה 3965x לצד ימין וזה יחליף סימן למינוס.
לכן 7800x-3965x=3835x.
לצד שמאל נעביר את ה19,500. זה ישנה סימן למינוס.. ונחבר אותו עם שאר המספרים בצד שמאל.
6825+1800-312+750-19500
שזה שווה ל10437-
כמעט סיימנו.
קיבלנו את המשוואה:
10437-=3835x
נחלק את כל המשוואה ב3835 וסיימנו.
בצד שמאל נקבל x, ובצד ימין נקבל
(10437/3835)-
שזה בערך 0.367-.
x=-0.367