מישהו יכול להסביר לי בקצרה על מתקף ותנע??? בבקשה מחר יש לי מבחן

החוק השני של ניוטון, f=ma, קובע כי סכום הכוחות על גוף שווה למכפלת המסה שלו בתאוצה שלו. אני מניחה שאת מכירה דיי טוב את החוק הזה. למה אני מציינת אותו? כי הוא רלוונטי רק כאשר המסה קבועה. כאשר היא משתנה, החוק משתנה לצורה הכללית יותר שלו:
f=d/dt(mv)
או לחילופין
f=dp/dt
מהם הסימנים המוזרים הללו? מה זה d/dt? מאיפה צצה לנו המהירות, v? מה זה בכלל p?
אני מקווה שאת יודעת ש-a, התאוצה, היא *הנגזרת* לפי הזמן (t) של המהירות (v). אם לא... דיי חבל, תאלצי לקבל את מה שאני אומרת במשיכת כתפיים. בכל מקרה, הסימון d/dt הוא סימון שמסמן נגזרת לפי הזמן. למשל, a=dv/dt. כן, זה קו שבר. אינטואיטיבית אפשר לחשוב על dv כחתיכה קטנה של המהירות ועל dt כחתיכה קטנה של הזמן, ועל a בתור המנה של החתיכות הקטנות האלה - השינוי האינפיניטסימלי (הקטן באופן אינסופי) במהירות v בעבור שינוי אינפיניטסימלי בזמן t. כל החפירות האלה על אינפיניטסימליים ונגזרות וסימונים מפחידים הם דיי בגדר העשרה, את לא חייבת להבין אותן. אם תרצי, אוכל להרחיב בנושא.
אם כך, מהרגע שהבהרנו למה הכוונה באופרטור ההו-כה מפחיד d/dt, שמאיים לגזור לנו את האף, בואי נדבר על הדבר שלשמו התכנסנו - ה-p החביב שאותו גזרנו כשכתבנו
f=dp/dt.
מהו p בכלל? איזו מן חיה הוא (מהן היחידות שלו)?
היחידות של p הן יחידות של מסה כפול יחידות של מהירות (כלומר קילוגרם-מטר-לשנייה, במערכת תקנית), וזה מאוד הגיוני אם מסתכלים על ההגדרה שלו:
p=mv
כלומר, p שווה למכפלת המסה של גוף במהירות שלו. איך קוראים ל-p המסתורי הזה, ולמה הוא טוב? קוראים לו *תנע*, ומהחוק השני של ניוטון נקבל שהוא מקיים דברים שימושיים.
ראינו (או יותר נכון, ניוטון ראה) ש-
f=dp/dt, או בהצבה של מה שהגדרנו בתור p:
f=d/dt(mv)
עכשיו, הבה נניח ש-m, המסה, קבועה בזמן. הגוף שלנו הוא לא בלון שפולט גז, וגם לא כוס זכוכית שמתמלאת במים. יש לו את אותה המסה בכל רגע נתון.
נזכיר: משמעות הביטוי המתמטי שכתבנו היא שסכום הכוחות שווה *לנגזרת* של התנע, mv, לפי הזמן.
מאחר ו-m קבועה, זה פשוט פרמטר ואפשר להוציא אותו מחוץ לנגזרת לפי חוקי הגזירה. לכן,
(f=m*(dv/dt
נחמד מאוד! ניזכר בדבר מגניב שציינו קודם: a=dv/dt.
נציב.
f=m*a
קסם! טא-דאם! חוק שני של ניוטון בפעולה!
ראינו שבאמת, אם נכתוב שסכום הכוחות על גוף הוא הנגזרת של התנע שלו לפי הזמן, נקבל שזו הכללה לחוק השני של ניוטון שמוכר לנו. זה כבר טוב.
עכשיו נביט במערכת שבה יש שני גופים, ונניח שהיא סגורה, כלומר שאין בה שום כוחות חיצוניים (או שהם מאזנים זה את זה, כלומר סכומם הוא אפס).
בגלל שאין כוחות חיצוניים, הכוחות היחידים שפועלים הם הכוחות הפנימיים.
נתבונן בכוח שמפעיל גוף 1 על גוף 2. מהחוק השלישי של ניוטון, קיים כוח נוסף, כוח שמפעיל גוף 2 על 1, שהפוך לכוח שהסתכלנו עליו בכיוונו אבל שווה לו בגודלו. לכן, הסכום שלהם יהיה אפס.
את העניין הזה אפשר להחיל לכל כוח שפועל על שני הגופים הנחמדים שלנו, בגלל שהנחנו שכל הכוחות הם פנימיים (כלומר פועלים בין גוף אחד לאחר, בתוך המערכת). נקבל שלא רק סכום הכוחות החיצוניים הוא אפס, אלא גם סכום הכוחות הפנימיים. בעבור כל אחד מהגופים נוכל לכתוב
f1=dp1/dt
f2=dp2/dt
כאשר p1,p2 הם התנעים של כל אחד מהגופים (כלומר, p1=m1v1, p2=m2v2) ו-f1,f2 הם סכום הכוחות על כל אחד מהגופים. נשים לב כי f1,f2 אינם 0 בהכרח, כי יכול להיות שהגופים נעים, אבל *הסכום* שלהם הוא אפס, בגלל מה שדיברנו עליו קודם עם כוחות שמבטלים זה את זה מהחוק השלישי של ניוטון. לכן מתקיים
f1+f2=0
נציב:
dp2/dt+dp1/dt=0
ומכללי הגזירה:
d/dt(p1+p2)=0
כלומר (אם ניזכר במשמעות הסימנים המפחידים), *הנגזרת* של p1+p2 לפי הזמן היא אפס. זה בעצם אומר שהגודל p1+p2 לא משתנה בזמן, כלומר קבוע.
הגודל הזה (סכום התנעים) נקרא *התנע הכולל* של המערכת. נסמן אותו ב-p.
אזי, p קבוע במערכת הזו (וכל מה שהנחנו הוא שסכום הכוחות החיצוניים עליה הוא אפס).
קיבלנו שבכל מערכת בה אין השפעת כוחות חיצוניים, התנע הכולל של הגופים בה (שהוא סכום התנעים של כל הגופים, כלומר m1v1+m2v2 וכו') נשמר.
עם העובדה הזו, שנקראת *שימור תנע* אפשר לפתור הרבה בעיות.
למה?
היא בעצם אומרת שאם נדע מה היו המסות של הגופים במערכת והמהירויות שלהם ברגע מסויים, ומה היו המסות שלהם ברגע אחר, והמהירות של אחד מהם, נוכל לחזות את המהירות של הגוף השני ברגע הזה (אם נשווה את התנע הכולל של המערכת בכל אחד מהרגעים האלה, ואנחנו יודעים שהוא שווה כי הוא נשמר בזמן כמו שהראינו). כלומר, נוכל למצוא את המהירות הזו בלי לדעת *שום דבר* על הכוחות שפעלו בין הגופים ועל הזמן שעבר. יכל לקרות ממש הכל, ובכל זאת לא נצטרך עוד מידע כדי לחזות דברים כאלה.
שימור תנע זה דבר נהדר.

הערה: מתקף הוא לא כל כך מעניין, כי הוא פשוט השינוי בתנע. אפשר לחשוב על תנע בתור "כמה קשה להאיץ או לעצור גוף" מהחוק השני של ניוטון, ובמובן הזה המתקף הוא מדד למה צריך להשקיע כדי לשנות את המהירות של גוף.

דוגמה לשאלה עם שימור תנע:
נתוני השאלה: איש בעל מסה m עומד על גשר. מתחת לגשר עוברת משאית שמסתה m הנוסעת במהירות v0. כאשר המשאית נמצאת בדיוק מתחת לגשר, האיש צונח מן הגשר ונוחת על גג המשאית. נתון כי לאחר שהאיש נוחת, הוא נותר על גג המשאית והם נעים יחד (כלומר הוא לא מחליק ממנה או משהו).
השאלה: מהי מהירות המשאית (כתלות ב-m,v0 ו-m) לאחר המעבר מתחת לגשר?
הערה: יש לשים לב כי *אין לנו מושג* אילו כוחות פועלים בין האיש לבין המשאית. זה יכול להיות כל דבר, והיופי הוא שלא אכפת לנו.
פתרון:
נשים לב כי אמנם הכבידה פועלת בציר y, ולכן סכום הכוחות החיצוניים בציר y הוא לא אפס והתנע הכולל לא נשמר בציר הזה, אבל בציר x לא פועלים שום כוחות חיצוניים ולכן התנע הכולל של המערכת נשמר בציר הזה (התנע הוא גודל וקטורי כי הוא תלוי לינארית במהירות v, שהיא וקטור, ולכן אפשר להפריד אותו לרכיבים). יש לנו מזל, כי המהירות הנתונה v0 והמהירות שאנחנו מחפשים (שנסמנה v1) הן מהירויות בציר x.
ראשית נבטא את התנע הכולל במערכת לפני נפילת האיש.
המהירות של האיש = 0.
המהירות של המשאית = v0.
המסה של האיש = m.
המסה של המשאית = m.
מכאן נקבל:
התנע של האיש = 0.
התנע של המשאית = m*v0.
ולכן סכום התנעים, שהוא התנע הכולל, יהיה
p0=0+m*v0=m*v0
כעת נתבונן ברגע לאחר שהמשאית חלפה מתחת לגשר.
מהירות האיש = v1 (מהירות לא ידועה שהיא גם מהירות המשאית, כי נתון שהוא נשאר עליה).
מהירות המשאית = v1.
מסת האיש = m.
מסת המשאית = m.
ולכן
p1=m*v1+m*v1=(m+m)*v1
אמרנו שהתנע נשמר בציר x (כי אין כוחות חיצוניים בציר הזה) ולכן מתקיים p0=p1.
לכן,
m*v0=(m+m)*v1
ומכאן
v1=(m/(m+m))*v0
וזו המהירות שחיפשנו.

שואל השאלה:
תודה רבה!!!!!!!
אני באמת ממש מעריכה3>