מותר להשתמש בקיו הישועות גם בשבת?

לא, וגם לא נראלי שזה פתוח בשבת, אבל גם אם זה פתוח - המטרה של הקו זה לחזר ביהדות, ולכן להשתמש בקו בשבת זה לא שייך

לא חושבת.
אסור להתפלל מהטלפון בשבת כי זה חילול השם, אותו עיקרון בערך.