מישהו יכול לעזור לי בפולינום??

כמובן

אני אשמח לעזור.

שואל השאלה:
אשמח אם תעזור/תעזרי אם את/ה יודע/ת

14 או 15? ואיזה סעיפים? הכל, רק חלק?

שואל השאלה:
שניהם אבל 14 בתור התחלה אני תקועה באמצע

חקירת פולינום היא דיי פשוטה מכיוון שבדרך כלל תחום ההגדרה הוא כל x ממשי.
בתרגיל 14 למשל נתון הפולינום
f(x) = 3x^5 - 10x^3
א. כפי שאמרתי בפונקציות פולינום תחום ההגדרה הוא כל x , כי הבעיות בתחום ההגדרה בדרך כלל נוצרות בפונקציות שורש או בפונקציות מנה.
ב. נקודות מינימום ומקסימום, נמצא אותם על ידי גזירה (אני מניח שלמדת נגזרות)
הנגזרת של x^n היא (n*x^(n-1 עבור n ששונה מ- (1-) ובגלל שבפולינום לא מופיעות חזקות שליליות נוכל להשתמש בזה, נקבל
f'(x) = 5*3x^4 - 3*10x^2
לאחר שנכפול נקבל
f'(x) = 15x^4 - 30x^2
כעת על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון נשווה את הנגזרת לאפס ונקבל את המשוואה
15x^4 - 30x^2 = 0
נוכל להוציא גורם משותף x^2 או אפילו גם 15x^2 ולקבל
15x^2(x^2 - 2) = 0
קיבלנו מכפלה של שני ביטויים שתוצאתם היא 0 ולכן או שהראשון שווה לאפס או שהשני
כלומר או ש-
15x^2 = 0
ואז x = 0
או ש-
x^2 - 2 = 0
ואז נוכל להעביר האגפים ולהוציא שורש ולקבל
(x = sqrt(2
או
(x = -sqrt(2
כמובן שכעת יש לבדוק האם אלו אכן נקודות קיצון (אפשר על ידי טבלה או על ידי נגזרת שנייה)
אני אשתמש בנגזרת שנייה (בעצם נבדוק האם הפונקציה קעורה או קמורה בנקודות אלו)
הנגזרת שנייה היא
f''(x) = 4*15x^3 - 2*30x
כלומר
f''(x) = 60x^3 - 60x
נציב את הערכים שקיבלנו שהם
x = 0
(x = sqrt(2
ו- (x = -sqrt(2
אם נקבל שהנגזרת השנייה בנקודה היא חיובית אז הפונקציה קמורה בסביבה של הנקודה ולכן הנקודה היא מינימום. ואם הנגזרת השנייה שלילית בנקודה אז הפונקציה קעורה ולכן הנקודה תהיה מקסימום.
אם נקבל שהנגזרת השנייה מתאפסת נצרך לגזור שוב ולבדוק
עבור x = 0 נקבל f''(x) = 0 ולכן נגזור שוב ונקבל
f^(3)(x) = 180x^2 - 60
אם נציב x = 0 נקבל 60- ומכיוון שהסדר של הנגזרת הוא אי-זוגי אז x = 0 זאת אכן נקודת פיתול.
עבור (x = sqrt(2 נקבל שהנגזרת השנייה חיובית ולכן זו נקודת מינימום
עבור (x = -sqrt(2 הנגזרת השנייה שלילית ולכן זו נקודת מקסימום
אפשר להציב כעת את ערכי ה- x כדי למצוא את הערך y המתאים אך אני לא אעשה זאת
ג. תחומי עליה וירידה
אנו יודעים איזה סוג הנקודות
(sqrt(2- מקסימום
0 פיתול
(sqrt(2 מינימום
ולכן קל לדעת את תחומי העלייה והירידה (אפשר גם לשכוח מ- 0 כי הוא לא קיצון)
לפי נקודת מקסימום הפונקציה עולה ואחרי הנקודה יורדת
לפני נקודת מינימום הפונקציה יורדת ואחרי הנקודה עולה
ולכן הפונקציה עולה לפני (sqrt(2- יורדת בין נקודות הקיצון ועולה שוב לאחר נקודת הקיצון שהיא המינימום.
ד. נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
נבדוק קודם חיתוך עם ציר y כי יש נקודת אחת כזאת.
בנקודה כזאת ערך ה- x הוא אפס ולכן נציב בפונקציה המקורית שלנו 0
f(x) = 3x^5 - 10x^3
נקבל f(0) = 0
ולכן נקודת החיתוך עם ציר y (שהיא גם במקרה חיתוך גם עם ציר x היא ראשית הצירים)
נקודות חיתוך עם ציר x, המשותף לנקודות אלה הוא שערך ה- y שלהן הוא 0 ולכן נשווה את הפונקציה המקורית ל- 0 ונפתור את המשוואה
3x^5 - 10x^3 = 0
הפתרונות אלו ערכי ה- x של נקודות החיתוך
נוציא x^3 גורם משותף ונקבל
x^3 (3x^2 - 10) = 0
ולכן או ש-
x^3 = 0 ולכן x = 0 אך אנו כבר יודעים שהראשית היא נקודת חיתוך
או ש-
3x^2 - 10 = 0
ולכן
x^2 = 10/3
כלומר
(x = sqrt(10/3
או
(x = -sqrt(10/3
ואלו אכן נקודות החיתוך.
ה. כדי לסרטט את גרף הפונקציה יש לסמן את כל הנקודות שמצאנו ואז לסרטט את הגרף.
אני תכף אצרף קישור לגרף.

בהצלחה !

אני מצרף קישור לגרף של הפונקציה שבתרגיל 14
אני מציע לך לנסות לפתור את 15 בעצמך כדי לבדוק שהבנת את הדרך לפתרון.
בהצלחה !

שואל השאלה:
תודהה!! רק מה זה sqrt?

ככה מסמנים שורש ריבועי ()sqrt ומה שבתוך הסוגריים זה מה שמתחת לשורש.

שואל השאלה:
אוקיי, תודה! ואיך בודקים בדרך של טבלה? כי המורה שלי לא מסכימה לעשות בדרך אחרת.