13 תשובות
אני אנסה
שואל השאלה:
בקישור
בקישור
אנונימי
כן ראיתי אבל חשבתי שאתה שואל חומר של י אני אנסה לפתור
עבדו עלייך זה חמש יחידות, 3 זה לא.
לפתור?
לפתור?
שואל השאלה:
כן
כן
אנונימי
יואבי^
אני למדתי את זה בשלוש יחידות השנה(כיתה י) וביא אנחנו נבחנים זה ....
אני למדתי את זה בשלוש יחידות השנה(כיתה י) וביא אנחנו נבחנים זה ....
אבל זו לא שאלה שתופיע בבגרות של שלוש, אני כמעט בטוח
יכול להיות שזה בחומר שלכם אבל זו שאלה ברמה של חמש, רק אומר...
כבר שולח פתרון
יכול להיות שזה בחומר שלכם אבל זו שאלה ברמה של חמש, רק אומר...
כבר שולח פתרון
דרך אגב עד כמה שידוע לי למדת קצת סדרות וקצת טריגו, זה ממש לא אומר שלמדת איך לפתור שאלה מהסוג הזה. תקני אותי אם אני טועה
נעביר את הגובה ad במשולש abc.
(adc=<adb=90>)
(בניית עזר).
משולש abc ש"ש(נתון).
bc=2a (נתון)
ad תיכון ל bc(הגובה במשולש ש"ש מתלכד עם התיכון).
||
v
dc=bd=bc/2=2a/2=a
ad חוצה זווית הראש במשולש abc(במשולש ש"ש הגובה מתלכד עם חוצה הזווית הראש).
נשרטט משולש שחופף למשולש abc שבסיסו הוא גם bc.
(בניית עזר).
נסמן- נקודת קודקוד הראש של המשולש שבנינו היא g.
נתון: זוויות הבסיס במשולש abc הן alpha:
acb=<abc=alpha>.
ואז:
gcb=<gbc=alpha>
(מחפיפת המשולשים abc ו gbc).
מכאן: הקטע bc חוצה את הזוויות acg> ו abg>.
||
v
הנקודה d היא מרכז המעגל
(הנקודה d היא נקודת מפגש חוצי הזוויות).
נעביר בחצי המעגל התחתון רדיוס מהנקודה d לשוק ac, שאותה הוא יחתוך בנקודה h.
נסמן: רדיוס חצי המעגל התחתון הוא r1.
dh=r1 (רדיוס בחצי המעגל).
ac משיק לחצי המעגל(נתון-חצי המעגל חסום במשולש abc).
ac_|_dh ---> <bha=<bhc=90
(המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו).
משולש hdc:
sin<acb=dh/dc
sin alpha=r1/a
r1=a*sin alpha.
אחרי זה נתון שאורכי הרדיוסים יוצרים סדרה הנדסית. ומשום שיש אינסוף חצאי מעגלים שכל אחד קטן מקודמו אז הסדרה היא אינסופית. נסמן את המנה שלה ב q.
נסמן גם: הרדיוס של חצי המעגל שמעל המעגל התחתון הוא r2, הרדיוס של זה שמעל הוא r3, וכו...
תזכורת: היקף של חצי מעגל-
2pi*r/2=pi*r
(ה 2 מצטמצם).
סכום היקפי חצאי המעגלים:
=.........+pi*r1+pi*r2+pi*r3
(.....+pi(r1+r2+r3
.....+r1+r2+r3
זה סכום סדרה הנדסית אינסופית:
(r1+r2+r3+.....=r1/(1-q)=a*sin alpha/(1-q
ואז סכום היקפי חצאי המעגלים מובע באמצעות q הוא:
(pi*a*sin alpha/(1-q
אין לי מושג איך למצוא את q אבל... צריך לנסות איכשהו להביע את r2 עם a ו alpha ואז q=r2/r1 אבל אין לי מושג איך למצוא את הרדיוס של חצי המעגל השני... יש לי תחושה שיש כאן שימוש במשפט תלס או במשפטי דמיון. אני לא בטוח לגבי זה.. אם מישהו הצליח למצוא את מנת הסדרה אשמח שתסבירו
(adc=<adb=90>)
(בניית עזר).
משולש abc ש"ש(נתון).
bc=2a (נתון)
ad תיכון ל bc(הגובה במשולש ש"ש מתלכד עם התיכון).
||
v
dc=bd=bc/2=2a/2=a
ad חוצה זווית הראש במשולש abc(במשולש ש"ש הגובה מתלכד עם חוצה הזווית הראש).
נשרטט משולש שחופף למשולש abc שבסיסו הוא גם bc.
(בניית עזר).
נסמן- נקודת קודקוד הראש של המשולש שבנינו היא g.
נתון: זוויות הבסיס במשולש abc הן alpha:
acb=<abc=alpha>.
ואז:
gcb=<gbc=alpha>
(מחפיפת המשולשים abc ו gbc).
מכאן: הקטע bc חוצה את הזוויות acg> ו abg>.
||
v
הנקודה d היא מרכז המעגל
(הנקודה d היא נקודת מפגש חוצי הזוויות).
נעביר בחצי המעגל התחתון רדיוס מהנקודה d לשוק ac, שאותה הוא יחתוך בנקודה h.
נסמן: רדיוס חצי המעגל התחתון הוא r1.
dh=r1 (רדיוס בחצי המעגל).
ac משיק לחצי המעגל(נתון-חצי המעגל חסום במשולש abc).
ac_|_dh ---> <bha=<bhc=90
(המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו).
משולש hdc:
sin<acb=dh/dc
sin alpha=r1/a
r1=a*sin alpha.
אחרי זה נתון שאורכי הרדיוסים יוצרים סדרה הנדסית. ומשום שיש אינסוף חצאי מעגלים שכל אחד קטן מקודמו אז הסדרה היא אינסופית. נסמן את המנה שלה ב q.
נסמן גם: הרדיוס של חצי המעגל שמעל המעגל התחתון הוא r2, הרדיוס של זה שמעל הוא r3, וכו...
תזכורת: היקף של חצי מעגל-
2pi*r/2=pi*r
(ה 2 מצטמצם).
סכום היקפי חצאי המעגלים:
=.........+pi*r1+pi*r2+pi*r3
(.....+pi(r1+r2+r3
.....+r1+r2+r3
זה סכום סדרה הנדסית אינסופית:
(r1+r2+r3+.....=r1/(1-q)=a*sin alpha/(1-q
ואז סכום היקפי חצאי המעגלים מובע באמצעות q הוא:
(pi*a*sin alpha/(1-q
אין לי מושג איך למצוא את q אבל... צריך לנסות איכשהו להביע את r2 עם a ו alpha ואז q=r2/r1 אבל אין לי מושג איך למצוא את הרדיוס של חצי המעגל השני... יש לי תחושה שיש כאן שימוש במשפט תלס או במשפטי דמיון. אני לא בטוח לגבי זה.. אם מישהו הצליח למצוא את מנת הסדרה אשמח שתסבירו
באתי לרשום את כל זה אבל אני רואה שאין צורך.
לגבי מנת הסדרה וr2, מוצאים את הגובה של המשולש בעזר tan עם a ואלפא, ואז מחסירים את r1 מהגובה, ומוצאים את החלק העליון. משם אפשר לעשות tan (עריכה: tan עם החלק העליון שמצאנו לפני רגע והזווית בסיס אלפא) ולמצוא את הבסיס של המשולש שחוסם את החצי המעגל השני. עם הבסיס והזווית בסיס אלפא אפשר לחשב את הרדיוס של החצי מעגל השני, ולחלק.
היחס בניהם יצא לי אחד מינוס קוסינוס אלפא.
לגבי מנת הסדרה וr2, מוצאים את הגובה של המשולש בעזר tan עם a ואלפא, ואז מחסירים את r1 מהגובה, ומוצאים את החלק העליון. משם אפשר לעשות tan (עריכה: tan עם החלק העליון שמצאנו לפני רגע והזווית בסיס אלפא) ולמצוא את הבסיס של המשולש שחוסם את החצי המעגל השני. עם הבסיס והזווית בסיס אלפא אפשר לחשב את הרדיוס של החצי מעגל השני, ולחלק.
היחס בניהם יצא לי אחד מינוס קוסינוס אלפא.
^נכון... תודה רבה!! אני אנסה עכשיו ואראה אם זה עובד:
נסמן: חצי המעגל השני משיק לחצי המעגל הראשון בנקודה j.
dj=r1 (רדיוס במעגל התחתון).
משולש adc:
tan<acb=ad/dc
tan alpha=ad/a
ad=a*tan alpha
aj=ad-dj=a*tan alpha-r1=a*tan alpha-a*sin alpha
הקטע aj הוא גובה במשולש שהקוטר בחצי המעגל השני הוא חלק מבסיסו משום שהקוטר של כל חצי מעגל מקביל לבסיס המשולש.
נקרא לקצוות הקוטר של חצי המעגל השני k ו l (כאשר k היא בצד של השוק ac ו l היא בצד של השוק ab).
jk=kl=r2
(רדיוסים בחצי המעגל השני)
נקרא לנקודות החיתוך של הקטעים ab ו ac עם המשכי הקטע kl כ m ו n(כאשר m בצד של ac ו n בצד של ab).
amj=<acb=alpha>
(זוויות מתאימות שוות).
משולש ajk:
tan<amj=aj/jm
tan alpha=(a*tan alpha-a*sin alpha)/jm
jm=(a*tan alpha-a*sin alpha)/tan alpha
נעביר רדיוס בחצי המעגל השני מהנקודה j שיחתוך את ac בנקודה p.
ac_|_jp
(המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו).
jp=r2 (רדיוס בחצי המעגל השני).
משולש pjm:
sin<amj=jp/jm
sin alpha=r2/((a*tan alpha-a*sin alpha)/tan alpha) i
r2=(a*tan alpha*sin alpha-a*sin^2 alpha)/tan alpha= i
a*tan alpha*sin alpha/tan alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha= i
a*sin alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha
ואז:
q=r2/r1=(a*sin alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha)/(a*sin alpha)= i
a*sin alpha[1-sin alpha/tan alpha]/(a*sin alpha)= i
i 1-sin alpha/tan alpha
||
v
סכום היקפי כל חצאי המעגלים:
=(pi*a*sin alpha/(1-q
pi*a*sin alpha
=--------------------------------------
(i 1-(1-sin alpha/tan alpha
pi*a*sin alpha
=--------------------------
sin alpha
--------------
tan alpha
sin alpha מצטמצם, נשאר:
pi*a
----------------
tan alpha
זה יוצא לי הסכום של היקפי כל חצאי המעגלים
ב)
הסכום של כל שטחי חצאי המעגלים:
=....+pi*r1^2/2+pi*r2^2/2+pi*r3^2/2
=[.....+pi/2[r1^2+r2^2+r3^2
=(pi/2*r1^2/(1-q^2
מצאנו כי
q=1-sin alpha/tan alpha=1-cos alpha
=(pi*(a*sin alpha)^2/(1-(1-cos alpha)^2
pi*a^2*sin^2 alpha/(1-(1-2cos alpha+cos^2 alpha))= i
pi*a^2*sin^2 alpha/(2cos alpha-cos^2 alpha) i
נתון: סכום שטחי על חצאי המעגלים הוא 3pi*a^2/16 ולכן נוכל להשוות:
pi*a^2*sin^2 alpha/(2cos alpha+cos^2 alph)=3pi*a^2/16
ניתן לצמצם ב a^2 אשר שונה מאפס וב pi:
sin^2 alpha/(2cos alpha-cos^2 alpha)=3/16
כפל בהצלבה-
6cos alpha-3cos^2 alpha=16sin^2 alpha
(6cos alpha-3cos^2 alpha=16(1-cos^2 alpha
6cos alpha-3cos^2 alpha=16-16cos^2 alpha
13cos^2 alpha+6cos alpha-16=0
נסמן: cos alpha=t
13t^2+6t-16=0
נוסחת השורשים:
t1,2=(-6+-sqrt(36+832))/38=(-6+-sqrt 868)/38
יש לי טעות
נסמן: חצי המעגל השני משיק לחצי המעגל הראשון בנקודה j.
dj=r1 (רדיוס במעגל התחתון).
משולש adc:
tan<acb=ad/dc
tan alpha=ad/a
ad=a*tan alpha
aj=ad-dj=a*tan alpha-r1=a*tan alpha-a*sin alpha
הקטע aj הוא גובה במשולש שהקוטר בחצי המעגל השני הוא חלק מבסיסו משום שהקוטר של כל חצי מעגל מקביל לבסיס המשולש.
נקרא לקצוות הקוטר של חצי המעגל השני k ו l (כאשר k היא בצד של השוק ac ו l היא בצד של השוק ab).
jk=kl=r2
(רדיוסים בחצי המעגל השני)
נקרא לנקודות החיתוך של הקטעים ab ו ac עם המשכי הקטע kl כ m ו n(כאשר m בצד של ac ו n בצד של ab).
amj=<acb=alpha>
(זוויות מתאימות שוות).
משולש ajk:
tan<amj=aj/jm
tan alpha=(a*tan alpha-a*sin alpha)/jm
jm=(a*tan alpha-a*sin alpha)/tan alpha
נעביר רדיוס בחצי המעגל השני מהנקודה j שיחתוך את ac בנקודה p.
ac_|_jp
(המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו).
jp=r2 (רדיוס בחצי המעגל השני).
משולש pjm:
sin<amj=jp/jm
sin alpha=r2/((a*tan alpha-a*sin alpha)/tan alpha) i
r2=(a*tan alpha*sin alpha-a*sin^2 alpha)/tan alpha= i
a*tan alpha*sin alpha/tan alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha= i
a*sin alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha
ואז:
q=r2/r1=(a*sin alpha-a*sin^2 alpha/tan alpha)/(a*sin alpha)= i
a*sin alpha[1-sin alpha/tan alpha]/(a*sin alpha)= i
i 1-sin alpha/tan alpha
||
v
סכום היקפי כל חצאי המעגלים:
=(pi*a*sin alpha/(1-q
pi*a*sin alpha
=--------------------------------------
(i 1-(1-sin alpha/tan alpha
pi*a*sin alpha
=--------------------------
sin alpha
--------------
tan alpha
sin alpha מצטמצם, נשאר:
pi*a
----------------
tan alpha
זה יוצא לי הסכום של היקפי כל חצאי המעגלים
ב)
הסכום של כל שטחי חצאי המעגלים:
=....+pi*r1^2/2+pi*r2^2/2+pi*r3^2/2
=[.....+pi/2[r1^2+r2^2+r3^2
=(pi/2*r1^2/(1-q^2
מצאנו כי
q=1-sin alpha/tan alpha=1-cos alpha
=(pi*(a*sin alpha)^2/(1-(1-cos alpha)^2
pi*a^2*sin^2 alpha/(1-(1-2cos alpha+cos^2 alpha))= i
pi*a^2*sin^2 alpha/(2cos alpha-cos^2 alpha) i
נתון: סכום שטחי על חצאי המעגלים הוא 3pi*a^2/16 ולכן נוכל להשוות:
pi*a^2*sin^2 alpha/(2cos alpha+cos^2 alph)=3pi*a^2/16
ניתן לצמצם ב a^2 אשר שונה מאפס וב pi:
sin^2 alpha/(2cos alpha-cos^2 alpha)=3/16
כפל בהצלבה-
6cos alpha-3cos^2 alpha=16sin^2 alpha
(6cos alpha-3cos^2 alpha=16(1-cos^2 alpha
6cos alpha-3cos^2 alpha=16-16cos^2 alpha
13cos^2 alpha+6cos alpha-16=0
נסמן: cos alpha=t
13t^2+6t-16=0
נוסחת השורשים:
t1,2=(-6+-sqrt(36+832))/38=(-6+-sqrt 868)/38
יש לי טעות
שאלה של 3 יחידות זה בטוח לא...
כמו שאמרתי (:
תודה על הפירוט, חסכת לי הרבה חחח
תודה על הפירוט, חסכת לי הרבה חחח