אני צריך עזרה בבעיות קיצון במתמטיקה, משהו יכול לעזור? שאלה די בסיסית..

נתון: משולש שווה שוקיים ששטחו s.
נסמן: a,b ו- c הם קודקודי המשולש כך ש- ab ו- ac הם השוקיים(ab=ac), ו- bc הוא הבסיס.
נעביר את הגובה ad לבסיס bc במשולש abc, נסמן אותו ב- h. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון לבסיס ולכן ad הוא גם תיכון לבסיס bc כך שמתקיים bd=dc. נסמן: bd=dc=x.
על פי נוסחה לחישוב שטח משולש:
s abc=ad*bc/2
כמו כן נתון כי s abc=s
||
v
ad*bc/2=s
ad(bd+dc)=2s
h(x+x)=2s
2xh=2s
xh=s
h=s/x
||
v
ad=s/x

על פי משפט פיתגורס, במשולש adc מתקיים:
ad^2+dc^2=ac^2
h^2+x^2=ac^2
i (s/x)^2+x^2=ac^2
ac^2=s^2/x^2+x^2
נבצע שורש על שני האגפים:
(ac=sqrt(s^2/x^2+x^2
משולש abc הוא שווה שוקיים ולכן
(ab=ac=sqrt(s^2/x^2+x^2

כעת נוכל לבנות פונקציה שמתארת את היקף המשולש, כאשר x הוא המשתנה שלפיו אנו גוזרים את הפונקציה ו- s הוא פרמטר נתון:

p abc=ab+ac+bc
p abc=sqrt(s^2/x^2+x^2)+sqrt(s^2/x^2+x^2)+2x

p abc=2sqrt(s^2/x^2+x^2)+2x
נגזור:

p'=2*[(0*x^2-2x*s^2)/x^4+2x]/2sqrt(s^2/x^2+x^2)+2

p'=[-2s^2/x^3+2x]/sqrt(s^2/x^2+x^2)+2
נשווה ל- 0:

i [-2s^2/x^3+2x]/sqrt(s^2/x^2+x^2)+2=0
i [-2s^2/x^3+2x]/sqrt(s^2/x^2+x^2)=-2
(i -2s^2/x^2+2x=-2sqrt(s^2/x^2+x^2
נחלק את שני האגפים ב- (2-):
(s^2/x^2-x=sqrt(s^2/x^2+x^2
נעלה את שני האגפים בריבוע:
s^4/x^4-2s^2/x+x^2=s^2/x^2+x^2
x^2 נופל משני האגפים:
s^4/x^4-2s^2/x^2=s^2/x^2
s^4/x^4-3s^2/x^2=0
s^2/x^2*[s^2/x^2-3]=0
i. s^2/x^2=0 ---> אין פתרון
ii. s^2/x^2=3
3x^2=s^2
x^2=s^2/3
נבצע שורש על שני האגפים:
x=s/sqrt(3)=s*sqrt(3)/3
(וכמובן שפוסלים את האפשרות השלילית).

כעת נוכל למצוא את סוג הקיצון על ידי טבלה או נגזרת שנייה. מטעמי נוחות, אבחר ללכת על טבלה:

x|____x<____s*sqrt(3)/3______<x____i
y'|____-___________0___________+____i
y|_____\________min._________/_____i

||
v
מכאן שהיקף המשולש המינימלי כאשר
x=s*sqrt(3)/3.

במצב זה:
בסיס המשולש הוא:
bc=2x=2s*sqrt(3)/3
כעת צריך למצוא את שוקי המשולש ולהוכיח שהן שוות באורכן לבסיס המשולש